Iwasawa invariants of CM fields (Q911645)

L'A. montre que sous certaines conditions fortes, l'inégalité du miroir \(\lambda^+\leq \lambda^-\) entre les composantes réelles et imaginaires de l'invariant lambda d'Iwasawa d'un corps à conjugaison complexe peut être précisée sous la forme stricte \(\lambda^+<\lambda^-.\) Le résulat principal de l'article peut se résumer comme suit: Soient p un premier impair, k un corps totalement réel, K une extension abélienne de k de degré relatif étranger à p et contenant les racines p-ièmes de l'unité, \(\chi\) un caractère réel du groupe \(\Delta =Gal(K/k)\), et \(\chi^*\) le reflet de \(\chi\) dans l'involution du miroir. Si les conditions suivantes sont vérifiées (i) La \(\chi^*\)-composante du p-groupe des classes \(C\ell_ K\) est cyclique; (ii) Le corps des invariants \(K^{\chi^*}\) de Ker \(\chi^*\) n'admet qu'une seule place au dessus de p, et celle-ci est totalement ramifiée dans la \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension cyclotomique \(K_{\infty}^{\chi^*}/K^{\chi^*};\) (iii) Le corps des invariants \(K^{\chi}\) de Ker \(\chi\) n'admet qu'une seule place au dessus de p, et celle-ci est totalement ramifiée dans la \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension cyclotomique \(K^{\chi}_{\infty}/K^{\chi};\) (iv) L'ordre de la \(\chi\)-composante du p-groupe des classes \(C\ell_ K\) est strictement plus petit que celui du groupe de torsion \(Gal(M^{\chi}/K^{\chi}_{\infty})\) attaché à la p-extension abélienne p-ramifiée maximale \(M^{\chi}\) de \(K^{\chi}\); on a les identités \(\mu_{\chi}=\mu_{\chi^*}=0\) et \(\lambda_{\chi}<\lambda_{\chi^*}.\) De l'inégalité obtenue, l'A. déduit des critères suffisants de nullité de l'invariant \(\lambda^+\), notamment pour \(p=3\) dans le cas particulier où \(K=\phi [\sqrt{d},\sqrt{-3d}]\) est un corps biquadratique contenant les racines cubiques de l'unité.