Zur Abschätzung des Brocardschen Winkels. II. (Estimation of the Brocard angle. II) (Q919278)

Der Brocardsche Winkel \(\omega\) in beliebigen Dreiecken genügt der Gleichung cot \(\omega\) \(=\cot \alpha_ 1+\cot \alpha_ 2+\cot \alpha_ 3\). Verf. setzt seine Bemühungen um Abschätzung von \(\omega\) durch algebraische Mittelwerte aus den \(\alpha_ i\) fort [vgl. Teil I in Elem. Math. 41, 98-101 (1986; Zbl 0599.51023)]. Er beweist zunächst die in der ersten Arbeit noch unbewiesene Vermutung \(2\omega \geq 3^{1/2}(\alpha_ 1^{-2}+\alpha_ 2^{-2}+\alpha_ 3^{-2})^{- 1/2}\) und ermittelt sodann Schranken, denen jede bessere Abschätzung von \(\omega\) durch derartige Mittelwerte genügen muß. Ergebnis: Für jede bessere Annäherung \(3^{1/r}(\alpha_ 1^{-r}+\alpha_ 2^{-r}+\alpha_ 3^{-r})^{-1/r}\leq 2\omega \leq 3^{1/s}(\alpha_ 1^{-s}+\alpha_ 2^{-s}+\alpha_ 3^{-s})^{-1/s}\) mit r, s \(reell>0\) gilt \(1\leq s\leq \log (3/2)/\log (4/3)<\log 3/\log 2\leq r\leq 2.\) Die vielfältigen Beweisschritte sind sehr knapp formuliert.