Sur les algèbres de Bernstein. IV. (On Bernstein algebras. IV) (Q1181830)

[For part II cf. ibid. 117, 11-19 (1989; Zbl 0672.17011).] Soient \(K\) un corps commutatif et \(A\) une \(K\)-algèbre commutative. Pour tout \(x\) de \(A\) et tout entier \(n\geq 1\), la puissance pleine de \(x\), notée \(x^{[m]}\), est définie par: \(x^{[1]}=x\); \(x^{[m]}=x^{[m-1]}x^{[m-1]}\) si \(m\geq 2\). Une \(K\)-algèbre pondérée \((A,\omega)\) est une algèbre de Bernstein d'ordre \(n\) si pour tout \(x\) de \(A\): \[ x^{[n+2]}=(\omega(x)x)^{[n+1]} = \omega(x)^{2^ n}x^{[n+1]} \] \(n\) étant le plus petit entier pour lequel cette égalité est vérifiée. Les auteurs étudient d'abord ces algèbres en caractéristique 2; puis en caractéristique différente de 2, ils précisent leur structure ainsi que les relations entre \(S\)-algèbres et algèbres de Bernstein. En appliquant toutes ces propriétés, ils démontrent des relations très précises concernant les opérations dans les algèbres de Bernstein d'ordre 2.