On illumination in the plane by line segments (Q1185845)

Ein Punkt \(x\) beleuchtet eine Menge \(M\) des euklidischen Raumes \(E^ d\), wenn für jeden Punkt \(m\in M\) die Strecke \(xm\) ganz in \(M\) liegt. Wird die Menge \(M\) von jedem ihrer Punkte beleuchtet, dann ist sie konvex. Wenn es einen Punkt \(x\in M\) gibt, der \(M\) beleuchtet, dann ist \(M\) sternförmig. Für kompakte Mengen \(M\) gilt Krasnoselsky's Satz: Wenn es für je \(d+1\) Punkte von \(M\) einen Punkt von \(M\) gibt, der sie in \(M\) beleuchtet, dann gibt es einen Punkt von \(M\), der ganz \(M\) beleuchtet. Die vorliegende Arbeit findet Verallgemeinerungen für einfach zusammenhängende kompakte ebene Mengen. Eine Strecke \(S\) beleuchtet die Menge \(M\), wenn jeder Punkt von \(M\) von einem Punkt von \(S\) beleuchtet wird. Leider gilt die natürliche Verallgemeinerung von Krasnoselsky's Satz zur Streckenbeleuchtung nicht. Wir brauchen zusätzliche Bedingungen. Die Autoren beweisen u.a.: Wenn eine Richtung \(\alpha\) so existiert, daß je 2 Punkte von \(M\) von einer Strecke der Richtung \(\alpha\) beleuchtet werden, dann existiert eine Strecke der Richtung \(\alpha\), die ganz \(M\) beleuchtet. Wenn eine Strecke \(S\) so existiert, daß je 3 Punkte von \(M\) von einem Translat von \(S\) beleuchtet werden, dann existiert ein Translat \(T\) von \(S\), das ganz \(M\) beleuchtet. Wenn es zu je 3 Punkten eines polygonalen Bereichs \(P\) eine Strecke gibt, die ihn beleuchtet, dann ist der sog. Linkdurchmesser von \(P\) höchstens 3, d.h. je zwei Punkte von \(P\) können durch einen Polygonzug mit höchstens 3 Seiten, der ganz in \(P\) liegt, verbunden werden, und ganz \(P\) wird vom Linkzentrum, einer gewissen Untermenge von \(P\), beleuchtet. Wenn \(P\) ein zentralsymmetrisches Polygon ist, so daß je 3 Punkte von einer Strecke durchs Zentrum beleuchtet werden können, dann wird \(P\) von einem Parallelogramm beleuchtet (das zu einer Strecke entarten kann).