Hyperstructures and linear spaces with parallelism (Q1205430)

Ist \(({\mathfrak P},{\mathfrak L})\) ein linearer Raum, dessen Geraden Teilmengen von \({\mathfrak P}\) sind, so wird durch \((a,b)\mapsto\) lineare Hülle von \(\{a,b\}\) eine Verknüpfung \[ +:{\mathfrak P}\times{\mathfrak P}\to\text{Potenzmenge }\mathbb{P}({\mathfrak P})\text{ von }{\mathfrak P} \] definiert. Ist \(\|\) zusätzlich eine Äquivalenzrelation auf \({\mathfrak L}\) derart, daß \({\mathfrak L}/\|\) aus Partitionen von \({\mathfrak P}\) besteht, so erhält man durch \[ (A,B)\mapsto A\cup\{x\in{\mathfrak L}\mid x\| B\text{ und } x\cap A\neq\emptyset\} \] eine Verknüpfung \(\cdot:{\mathfrak L}\times{\mathfrak L}\to\mathbb{P}({\mathfrak L})\). Vorangehende Untersuchungen [\textit{M. Marchi}, Riv. Mat. Pura Appl. 7, 93- 111 (1990; Zbl 0735.51004)] weiterführend, charakterisieren Verff. lineare Räume mit Parallelität, affine Ebenen und affine Räume durch Eigenschaften der algebraischen ``Hyperstruktur'' \(({\mathfrak P},+,{\mathfrak L},\cdot)\). Darüberhinaus werden geometrische Eigenschaften von \(({\mathfrak P},{\mathfrak L},\|)\) innerhalb \(({\mathfrak L},\cdot)\) beschrieben und die logische Unabhängigkeit der benutzten Axiome für die Struktur \(({\mathfrak L},\cdot)\) nachgewiesen.