Schauder estimates in domains with corners (Q1263729)

D\(\subset {\mathbb{R}}^ 2\) sei ein beschränktes Gebiet mit stückweise glattem Rand \(\partial D={\bar \Gamma}_ 1\cup...\cup {\bar \Gamma}_ m\), wobei jedes \(\Gamma_ i\) eine (relativ) offene, glatte Kurve ist. Diese Kurven werden in zwei Klassen \({\mathcal D}\) und \({\mathcal N}\) eingeteilt. Der Autor betrachtet das gemischte Randwertproblem: \[ \Delta u+pu=f\quad in\quad D,\quad u=0\quad auf\quad \Gamma_ i\in {\mathcal D},\quad \partial u/\partial n=0\quad auf\quad \Gamma_ i\in {\mathcal N}. \] Er greift Methoden aus einer eigenen älteren Arbeit [Math. Z. 115, 33-52 (1970; Zbl 0186.172)] auf, um die Untersuchungen über das Verhalten von Lösungen in der Nähe von Ecken des Randes weiterzuentwickeln. Unter der Voraussetzung der Hölderstetigkeit an p und f werden asymptotische Entwicklungen von u in der Nähe von Ecken gegeben, und der entsprechende Fehlerterm wird in der \(C^{2,\lambda}\)-Höldernorm abgeschätzt. Verwendet werden beim Beweis Greensche Funktionen, Darstellungsformeln, Koordinatentransformationen der Gestalt \(z\to z^{\alpha}\) (dabei werde eine Ecke in \(z=0\) mit eingeschlossenem Winkel \(\alpha\) \(\pi\) untersucht) und klassische elliptische Schaudertheorie. Sind die Winkel in den Ecken hinreichend klein, gelingen globale \(C^{2,\lambda}\)-Abschätzungen der Lösungen.