*-value functions and total subrings in *-fields (Q1318620)

Es sei \(D\) ein *-Körper (nicht notwendig kommutativer Körpr mit Involution *), \(V\) sei ein *-abgeschlossener Unterring von \(D\) mit \(x\in V\) oder \(x^{-1}\in V\) für alle \(0\neq x\in D\), und \(P\) sei das maximale Ideal von \(V\). Für \(x\in D\) sei weiter \(P_ x= \{(b,c)\in D\times D\mid bxc+(bxc)^*\in P\}\). Dann wird durch \(x\sim y\leftrightarrow P_ x= P_ y\) in \(D\) eine Äquivalenzrelation definiert, und \(\Gamma= D^ \times /\sim\) ist eine multiplikative Gruppe mit der kanonischen Abbildung \(\varphi: D^ \times\to \Gamma\), die durch \(\varphi(x)\leq \varphi(y) \leftrightarrow P_ y\subset P_ x\) geordnet wird. \(G=\{xV\mid x\in D^ \times\}\) ist eine additive Gruppe mit der kanonischen Abbildung \(\omega: D^ \times \to G\), die durch \(\omega(x)\geq \omega(y) \leftrightarrow xV\subset yV\) geordnet wird. Verf. beweist: Die Abbildung \(\psi: \Gamma\to G\), \(\varphi(x)\mapsto \omega(x)\) ist wohldefiniert, und folgende Aussagen sind paarwise gleichwertig: (1) \(\varphi\) ist eine *-Wertfunktion; d.h. \(\varphi(xy)= (\varphi x)(\varphi y)\), \(\varphi(x)\leq \varphi(z)\wedge \varphi(y)\leq \varphi(z)\to \varphi(x+y)\leq \varphi(z)\) und \(\varphi(x^*)= \varphi(x)\). (2) \(\omega\) ist eine *-Bewertung, die also über die Bewertungseigenschaften hinaus \(\omega(x^*)= \omega(x)\) erfüllt. (3) \(\psi\) is injektiv. (4) Das \(\varphi\)-Bild einer gewissen Einheitengruppe in \(\Gamma\) ist trivial.