Structure theorem for multiple addition and the Frobenius problem (Q1914029)

Sei \(A\subseteq [0; \ell]\) eine Menge aus \(\mathbb{N}_0\) mit \(|A|= n\geq 2\) and \(0, \ell\in A\) sowie \(\text{ggT} (A)=1\). Mit \(k\) wird die größte Zahl aus \(\mathbb{N}\) bezeichnet, die \(k(n- 2)+ 1\leq \ell\leq (k+ 1) (n- 2)+1\) genügt. Das Hauptresultat der Arbeit ist das Theorem 1. Sei \(2\leq h\in \mathbb{N}\). Dann gilt \[ |hA |\geq |(h- 1)A |+ \min \{\ell, h(n- 2)+ 1\}; \] dabei ist wie üblich \(hA\) die Menge aller Zahlen, die als Summe von \(h\) Elementen aus \(A\) darstellbar sind. In Theorem 3 wird weiter gezeigt: \[ {\textstyle {1\over h}} (|hA|- 1)\geq {\textstyle {1\over {h-1}}} (|(h-1)A |-1). \] Für eine lineare Form \(a_1 x_1+ \dots+ a_n x_n\) mit \(a_i\in \mathbb{N}\) und \(x_i\in \mathbb{N}_0\) \((i=1, \dots, n)\) sowie \(0< a_1< \dots< a_n= \ell\) und \(\text{ggT} (a_1, \dots, a_n)=1\) bedeutet \(G= G(a_1, \dots, a_n)\) die größte Zahl aus \(\mathbb{N}\), die nicht durch die lineare Form darstellbar ist. Ferner ist \(g(n, \ell): \max_{a_n= \ell} G\). Mit Hilfe von Theorem 1 gibt Verf. in Theorem 4 eine Abschätzung für \(g(n, \ell)\) nach oben, die in gewissem Sinn bestmöglich ist. Die Beweise verlaufen elementar [vgl. auch die Arbeit von \textit{J. Dixmier}, J. Number Theory 34, 198-209 (1990; Zbl 0695.10012), Theorem 3].