Classification of three-parametric spatial motions with a transitive group of automorphisms and three-parametric robot manipulators (Q913260)

Der kinematische Raum einer Transformationsgruppe G ist der homogene Raum \(G\times G/_{Diag(G\times G)},\) wobei mit \(Diag(G\times G)\) die Gruppe aller Elemente (g,g) mit \(g\in G\) bezeichnet wird. Es wird der kinematische Raum \(C_ 6\times C_ 6/_{Diag(C_ 6\times C_ 6)}\) der Gruppe der Kongruenztransformationen des dreidimensionalen euklidischen Raumes betrachtet. Vom differentialgeometrischen Standpunkt ist der kinematische Raum ein pseudoriemannscher symmetrischer Raum, dessen Metrik über die Kleinsche Form mit der Signatur \((+++---)\) induziert wird. Die Betrachtung p-parametriger Bewegungsvorgänge ist nun mit dem Studium von p-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten des kinematischen Raumes verknüpft. Die differentialgeometrischen Eigenschaften der Untermannigfaltigkeiten \(p\leq 3\) unterscheiden sich ganz wesentlich von klassischen Ergebnissen, was vor allem durch die Existenz von zwei quadratischen Differentialformen erster Ordnung bedingt ist. Es werden alle dreidimensionalen Untermannigfaltigkeiten bestimmt, die konstante Invarianten besitzen. Als wichtigstes Ergebnis ist der Fall zu nennen, daß wenn die Untermannigfaltigkeit konstante Invarianten hat, diese gleich null sind und damit die Untermannigfaltigkeit lokal gleich SO(3) ist. Ein Roboter ist eine Abbildung G: \(R^ p\to P\) mit \(g(u_ 1,...,u_ p)=\exp (u_ 1X_ 1)\cdot...\cdot \exp (u_ pX_ p),\) also eine Zusammensetzung einparametriger Untergruppen. Die Bewegung eines dreiparametrigen Roboters ist damit eine spezielle Klasse von dreiparametrigen Bewegungen. Die Klassifikation der dreiparametrigen Roboter mit konstanten Invarianten ergibt sich unmittelbar aus der Klassifikation der dreidimensionalen Untermannigfaltigkeiten des kinematischen Bildraumes.