Spiegelungsgeometrische Darstellung affiner Ebenen auf der Grundlage eines abgeschwächten Schrägspiegelungsbegriffs (Q1063862)

Von \textit{E. Quaisser} [Z. Math. Logik Grundlagen Math. 27, 131-140 (1981; Zbl 0483.51015)] stammt eine Charakterisierung der Moufang-Ebenen mit Charakteristik \(\neq 2\) als Schrägspiegelungsebenen, das sind solche affinen Ebenen A, in denen zu jedem nicht parallelen Geradenpaar a,b eine Schrägspiegelung mit Achse a in Richtung b existiert. Eine solche Spiegelung ist eine involutorische Abbildung \(\sigma\) : \(A\to A\), die genau die Punkte von a als Fixpunkte hat, für die die Gerade \(PP^{\sigma}\) stets parallel zu b ist, und für die zusätzlich gilt: Für \(P\not\in a\), \(Q\in a\setminus \{P\}\) und \(R:=a\cap PP^{\sigma}\) stimmt der vierte Parallelogrammpunkt von (R,P,Q) mit dem von \((P^{\sigma},R,Q)\) überein. Der Author nennt eine Abbildung mit diesen die Forderung nach Invarianz der Kollinearität abschwächenden Eigenschaften eine (a,b)-Spiegelung und zeigt, daß eine affine Ebene genau dann eine Translationsebene mit Charakteristik \(\neq 2\) ist, wenn es zu je zwei schneidenden Geraden a und b (genau) eine (a,b)-Spiegelung gibt. Ferner wird ein gruppentheoretisches Axiomensystem für diese Klasse von Ebenen angegeben.