Simultaneous approximation of \(p\)-adic numbers (Q2719578)

Von \textit{L. X. Wang} und Verf. [Chin. Sci. Bull. 34, 1243-1247 (1989; Zbl 0687.10026)] wurde bei \(m\in{\mathbb{Z}}\) die Menge NEWLINE\[NEWLINE\Gamma_m := \Biggl\{(Q_0,\ldots,Q_n)\in{\mathbb{Z}}^{n+1}\mid \biggl|Q_0-\sum^n_{\nu=1}Q_\nu\alpha_\nu \biggr|_p \leq p^{-m} \Biggr\}NEWLINE\]NEWLINE eingeführt und als \(m\)-tes Gitter für die simultane Approximation von \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{\mathbb{Q}}_p\) bezeichnet. In der nun vorliegenden Arbeit wird dieser Begriff in Verbindung mit einem Resultat von \textit{K. Mahler} [Lectures on Diophantine approximations. University of Notre Dame Press (1961; Zbl 0158.29903)] benutzt, um neue Ergebnisse über simultane Approximation \(p\)-adischer Zahlen und ein \(p\)-adisches Analogon zum Dirichletschen Satz über simultane Approximation im Reellen zu erhalten. Ein typisches Resultat lautet wie folgt. NEWLINENEWLINENEWLINEBei \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{\mathbb{Z}}_p\) sind folgende Aussagen äquivalent: NEWLINENEWLINENEWLINE(i) \(1,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) sind linear unabhängig über \({\mathbb{Q}}\). NEWLINENEWLINENEWLINE(ii) Es gibt eine unendliche Folge \(\Gamma_{m_1}\supset \Gamma_{m_2} \supset \ldots\) von Gittern simultaner Approximation von \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) mit teilerfremden und paarweise verschiedenen Minimalpunkten. Dabei heißt \((Q_0,\ldots,Q_n)\in\Gamma_m\setminus\{{\underline 0}\}\) ein Minimalpunkt von \(\Gamma_m\), falls für alle \((Q'_0,\ldots,Q'_n)\in \Gamma_m\setminus \{{\underline 0}\}\) die Ungleichung \(\max_{0\leq i\leq n} |Q_i|\;\leq \max_{0\leq i\leq n} |Q'_i|\) erfüllt ist.