Caractérisations des zéros des fonctions de certaines classes de type Nevanlinna dans le bidisque (Q1058018)

Pour \(z=(z_ 1,z_ 2)\) dans le bidisque-unité \(D^ 2\), soit \(\delta (z)=\inf (1-| z_ 1|^ 2,1-| z_ 2|^ 2);\) X étant un ensemble analytiques dans \(D^ 2\), de dimension pure 1, et \(d\sigma\) la mesure d'aire sur X, soit \(A(X,\alpha)=\int_{X}\delta^{\alpha}d\sigma.\) Si \(\alpha >-1:\) la condition \(A(X,\alpha +2)<+\infty\) est nécessaire et suffisante pour que X soit l'ensemble des zéros d'une f holomorphe sur \(D^ 2\) telle que \(\delta^{\alpha}\ln^+| f|\) soit intégrable sur \(D^ 2\). La condition \(A(X,1)<+\infty\) est nécessaire [résultat contenu dans un article antérieur de l'A., Math. Ann. 242, 27-46 (1979; Zbl 0387.32003)], la condition \(A(X,\beta)<+\infty\) pour un \(\beta <1\) suffisante pour que X soit l'ensemble des zéros d'une f holomorphe sur \(D^ 2\) telle que l'intégrale sur la frontière topologique de \(D^ 2\) de \(z\mapsto \ln^+| f(rz)|\) soit bornée pour \(r<1\). La condition \(A(X,\alpha +1)<+\infty,\) \(-1<\alpha \leq 0\), (resp.: X d'aire finie) est suffisante pour que X soit l'ensemble des zéros d'une f holomorphe sur \(D^ 2\) telle que \(\zeta \mapsto (1-| \zeta |^ 2)^{\alpha}\ln^+| f(\zeta,\zeta)|\) soit intégrable sur D (resp.: que l'intégrale sur la frontière distinguée de \(D^ 2\) de \(z\mapsto \ln^+| f(rz)|\) soit bornée pour \(r<1)\); les deux dernières conditions suffisantes sont strictement plus fortes que les conditions nécessaires obtenues par l'A. (loc. cit.), portant sur le courant d'intégration sur X.