Some remarks on quadrics in affine spaces (Q1897481)

Sei \(Q\) eine Quadrik im \(n\)-dimensionalen affinen Raum \(A^n\) über einem Körper \(S\) mit \(\text{char} S \neq 2\). Ein Punkt \(P \in Q\) heißt regulär, wenn es durch \(P\) eine Gerade \(g\) mit \(|Q \cap g |= 2\) gibt; die Quadrik \(Q\) heißt nullteilig, wenn sie in einem echten Unterraum von \(A^n\) enthalten ist. Verff. beweisen einerseits (Satz 2), daß die Gleichung einer nicht-nullteiligen Quadrik \(Q \subset A^n\) bezüglich eines festen Ursprungs 0 bis auf einen von Null verschiedenen Faktor eindeutig bestimmt ist. Ferner gilt unter der Voraussetzung \(|S |> 3\) (Satz 1): \(Q\) ist nullteilig \(\Leftrightarrow Q\) enthält nur singuläre (= nicht-reguläre) Punkte \(\Leftrightarrow Q\) ist ein (echter) Unterraum des \(A^n\). Das Beispiel der für \(S = \mathbb{Z}_3\) durch \(xy = 1\) beschriebenen nullteiligen Quadrik \(Q = \{A (1,1),\;B(-1, -1)\} \subset A^2\) zeigt, daß in Satz 1 \(|S |> 3\) wirklich benötigt wird. -- Bezüglich der behandelten Problematik sei auch auf den (offenbar nicht allgemein bekannten) Anhang IV der 7. Auflage des Lehrbuchs: \textit{G. Pickert}, Analytische Geometrie (Akad. Verlagsges., Leipzig) (1976; Zbl 0333.50001) verwiesen!