Continued fractions in local fields. II (Q2719080)

Bisher existieren zwei inäquivalente Kettenbruchdefinitionen im Henselschen Körper \({\mathbb Q}_p\) der \(p\)-adischen Zahlen: Eine von \textit{T. Schneider} [Symp. Math. 4, 181-189 (1970; Zbl 0222.10035)] und eine weitere von \textit{A. A. Ruban} [Sib. Mat. Zh. 11, 222-227 (1970; Zbl 0188.10704)] modifiziert durch den Verf. [Demonstr. Math. 11, 67-82 (1978; Zbl 0376.10025)]. NEWLINENEWLINENEWLINEDie Ruban-Browkinsche Definition läßt sich im Fall \(p > 2\) wie folgt beschreiben: Sei \(R\subset{\mathbb Q}\) ein vollständiges Restsystem modulo \(p\) mit \(0\in R\); dann hat jedes \(\alpha\in{\mathbb Q}_p\setminus\{0\}\) eine eindeutige Darstellung der Form \((*)\) \(\alpha = \sum_{n\geq r} a_n p^n\) mit \(r = v(\alpha)\in{\mathbb Z}\), \(a_n\in R\) für alle \(n\geq r\) und \(a_r\neq 0\), wobei \(v\) die \(p\)-adische Exponentenbewertung von \({\mathbb Q}_p\) bezeichnet. Die Abbildung {\textit{ganzer Anteil}} \(s: {\mathbb Q}_p \to{\mathbb Q}\) wird durch \(s(\alpha) := \sum_{n=r}^0 a_n p^n\) definiert, wenn \(\alpha\) die Form \((\ast)\) hat. Im Rubanschen Fall nimmt man \(R =\{0,1,\ldots,p-1\}\), während Verf. in der vorliegenden Note mit \(R = \{-(p-1)/2,\ldots,0,1,\ldots,(p-1)/2\}\) arbeitet. NEWLINENEWLINENEWLINEAlle bisherigen \(p\)-adischen Kettenbruchdefinitionen waren insofern unbefriedigend, als die Frage, ob jedes über \({\mathbb Q}\) quadratische \(\alpha\in{\mathbb Q}_p\) eine periodische Entwicklung hat, i.a. mit ``nein'' zu beantworten ist. Verf. gibt hier, basierend auf seinen o.a. Festsetzungen von \(R\) und \(s\), vier unterschiedliche Kettenbruchalgorithmen an, zwei davon nur für quadratische \(\alpha\), die er mit numerischem Material unterlegt, das mehr als die Hälfte der Note ausmacht. Dabei zeigt sich u.a., daß \(\sqrt m\) für jedes natürliche, nicht durch 5 teilbare \(m < 5000\) mit \(\sqrt m\in{\mathbb Q}_5\setminus{\mathbb Q}\) eine periodische Entwicklung hat. Jedoch gilt Analoges dann aber in \({\mathbb Q}_p\) für gewisse große \(p > 5\) wiederum nicht.