Linear and algebraic independence of functions associated to a \(q\)-zeta function (Q959007)

Für \(k\in\mathbb{Z}\) werden die Funktionen \(L_k(x,y):= \sum_{n\geq1}n^kx^ny^n/(1-x^n)\) betrachtet. Sind \(a_1,\dots,a_s\in\mathbb{C}^\times\) betraglich \(<1\) und multiplikativ unabhängig, so lauten die ersten beiden Ergebnisse wie folgt. 1) Die Funktionen \(1,L_0^{(\mu)}(x,1),L_0^{(\mu)}(x,a_\sigma)\) mit \(\sigma=1,\dots,s\) und \(\mu=0,\dots,m\) sind über \(\mathbb{C}(x)\) linear unabhängig; dabei ist \(m\in\mathbb{N}_0\) beliebig und \(L^{(\mu)}\) bedeutet \(\mu\)-malige partielle Ableitung nach \(y\). 2) Die \(L_0(x,a_\sigma), \sigma=1,\dots,s,\) sind über \(\mathbb{C}(x)\) algebraisch unabhängig. Zwei weitere Resultate besagen folgendes. 3) Sind obige \(a_\sigma\) sogar a.u. über \(\mathbb{Q}\), so sind die \(L_k(x,a_\sigma)\) mit \(\sigma=1,\dots,s\) und \(k=0,-1,\dots,-m\) bei beliebigem \(m\in\mathbb{N}_0\) über \(\mathbb{C}(x)\) algebraisch unabhängig. 4) Ist \(a\in\mathbb{C}^\times, |a|<1\) und sind \(k_1,k_2\in\mathbb{N},k_1<k_2\), so sind \(L_0(x,a),L_{k_1}(x,a),L_{k_2}(x,a)\) über \(\mathbb{C}(x)\) algebraisch unabhängig. Die Beweisführung lehnt sich relativ eng an \textit{Yu. A. Pupyrev} [Mat. Zametki 78, 608--613 (2005; Zbl 1160.11338)] an.