Algebraic independence of the values of Mahler functions associated with a certain continued fraction expansion (Q597124)

Es genüge \((a_k) \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}_0}\) einer linearen Rekurrenz \(a_{k+n}=c_1a_{k+n-1}+\dots+c_na_k\) \((k=0,1,\dots)\) mit festen \(c_1,\dots,c_n \in \mathbb{N}_0, c_n \neq 0\); deren Begleitpolynom \(X^n-c_1X^{n-1} -\dots-c_n\) heiße \(\Phi(X)\). Dann beweist Verf. folgenden Satz über die Reihe \(f(z):= \sum_{k \geq 0} \prod_{h=0}^k (z^{a_h}/(1-z^{a_h}))\): Ist \((a_k)\) keine geometrische Folge, gilt \(\Phi(1)\Phi(-1) \neq 0\) und ist kein Quotient zweier verschiedener Wurzeln von \(\Phi\) eine Einheitswurzel, so gilt bei von Null verschiedenen algebraischen \(\alpha_1,\dots,\alpha_r\) aus dem Einheitskreis folgende Charakterisierung: \(f(\alpha_1),\dots,f(\alpha_r)\) sind über \(\mathbb{Q}\) algebraisch abhängig genau dann, wenn es ein \(k \in \mathbb{N}_0\) und verschiedene \(i,j \in \{1,\dots,r\}\) mit \(\alpha_i^{N_k} = \alpha_j^{N_k}\) gibt, wobei \(N_k:=\text{ggT}(a_k,\dots,a_{k+n-1})\) gesetzt ist. Im Fall \(r=1\) beantwortet dies insbesondere eine von J. Tamura gestellte Transzendenzfrage. Der Beweis des obigen Satzes gelingt, weil sich die Werte der Funktion \(f\) auf solche von Funktionen mehrerer Variablen vom Mahlerschen Typ zurückführen lassen, die gewissen Funk\-tional\-gleichungen genügen. In dieser Richtung hatte Verf. [Osaka J. Math. 36, No. 1, 203--227 (1999; Zbl 0946.11015)] früher Vorarbeiten geleistet, die er nun gebührend verallgemeinert hat.