Affine Relative. (Affine relatives) (Q1093887)

Ein n-stelliges Relativ (\({\mathcal P},{\mathcal R}^{(n)})\) (n\(\geq 2)\) besteht aus einer nichtleeren Menge \({\mathcal P}\), einer Menge \({\mathcal R}^{(n)}\subseteq {\mathfrak P}{\mathcal P}^ n\setminus \{\emptyset \}\); es heißt einfach graphisch, wenn folgende Bedingungen gelten: (i) Zu \(A_ 1,...,A_ n\in {\mathcal P}\) gibt es genau ein \({\mathfrak C}\in {\mathcal R}^{(n)}\) mit \((A_ 1,...,A_ n)\in {\mathfrak C}\); wir setzen \({\mathfrak C}:=A_ 1,...,A_ n\). (ii) \((A_ 1,...,A_ n)\in B^ n \Leftrightarrow A_ 1=...=A_ n\). (iii) Für jede Permutation \(\sigma \in S^{(n)}\) gilt \(A_{\sigma 1}...A_{\sigma n}\in {\mathcal R}^{(n)}\). (iv) Zu \(A_ 1\in {\mathcal P}\), \({\mathfrak C}\in {\mathcal R}^{(n)}\) gibt es \(A_ 2,...,A_ n\) mit \(A_ 1A_ 2...A_ n={\mathfrak C}\). (iv) Definiere \({\mathfrak C}f_{ij}\) durch \((A_ i,A_ j)\in {\mathfrak C}f_{ij}: \Leftrightarrow A_ 1'...A'_{i-1}A_ iA'_{i+1}...A'_{j-1}A_ jA'_{j+1}...A_ n'={\mathfrak C}\) für geeignete \(A_ 1',...,A_ n'\in {\mathcal P}\), so gelte \(A_ k'=A_ k\). (vi) \((A_ 1,...,A_ n)f_{12}=(A_ 1,A_ 2,A_ 3',...,A_ n')f_{12}\). Der Spezialfall \(n=2\) liefert zweistellige affine Relative, die Verf. bereits früher im Zusammenhang mit schwach affinen Räumen untersucht hat [vgl. etwa Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 40, 197-214 (1974; Zbl 0302.50011), Mitt. Math. Semin. Gießen 163, 83-102 (1984; Zbl 0576.51001)]. In naheliegender Weise werden n-stellige affine Relative definiert. Verf. zeigt, daß die Klasse der dreistelligen affinen Relative umkehrbar eindeutig auf die Klasse der affinen Räumen abgebildet werden kann. Eine schöne Kennzeichnung desarguesscher affiner Räume durch dreistellige affine Relative wird hergeleitet.