Fastalgebren mit zweiseitigem bzw. kommutativem Inzidenzgruppoid. (Near- algebras with two-sided or commutative incidence-groupoid respectively) (Q1080176)

1967 zeigte der Verf., daß jede zweiseitige projektive desarguessche Inzidenzgruppe durch eine assoziative Divisionsalgebra (D,K) (d.h. D ist ein Schiefkörper) darstellbar ist [vgl. Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 30, 220-240 (1967; Zbl 0195.222)]. Nunmehr gelang es dem Verf., sein berühmtes Resultat auf den wohl allgemeinsten Fall zu erweitern. Durch äußerst geschickte Rechnungen beweist er den folgenden Satz: Es sei H ein normaler Teilkörper eines unitären, regulären Fastringes F mit [F:H]\(\geq 3\). a) Wenn \((D)\quad (Ha+Hb)c=H(ac)+H(bc)\) für alle a,b,c\(\in F\) gültig ist, ist (F,H) eine Algebra, d.h. \(H\subset Z(F)\) und \((a+b)c=ac+bc\) für alle a,b,c,\(\in F\). b) Das Faktorgruppoid \(F^*/H^*\) ist genau dann kommutativ, wenn (F,H) eine kommutative Algebra ist. Dabei heißt: \(F=(F,+,\cdot)\) Fastring, wenn \((F,+)\) eine abelsche Gruppe ist, \(0\cdot x=0\) und \(x(y+z)=xy+xz\) für x,y,z\(\in F\) gilt; F ist regulär, wenn für \(a\in F^*:=F\setminus \{0\}\) die Abbildungen \(x\to ax\) und \(x\to xa\) injektiv sind. \(H\subset F\) heißt normal, wenn \(H\neq F\) und \((xy)H=x(yH)=(xH)y\) für x,y\(\in F\) gilt. Nach einem früheren Resultat des Verf. [Math. Z. 158, 55-60 (1978; Zbl 0381.16020)] ist (F,H) ein Linksvektorraum über dem Körper H, dessen Dimension mit [F:H] bezeichnet wird. Zu jedem normalen Teilkörper H eines unitären regulären Fastringes F gehört ein desarguessches projektives Inzidenzgruppoid \(F^*/H^*\), welches genau dann zweiseitig ist (d.h. für jedes \(\bar a\in F^*/H^*\) ist die Abbildung \(\bar x\to \bar x\bar a\) eine Kollineation des zugehörigen projektiven Raumes) wenn (D) erfüllt ist.