Einige Bemerkungen zum Vierscheitelsatz (Q1901470)

Der berühmte Vierscheitelsatz, der besagt, daß eine regulär parametrisierte, geschlossene, doppelpunktfreie Kurve in der euklidischen Ebene mindestens vier Extrema der Krümmung besitzt, wurde unter der Voraussetzung zweimalig stetiger Differenzierbarkeit bewiesen von \textit{A. Kneser} [Festschrift zum 70. Geburtstag von Heinrich Weber (Leipzig, Berlin), 170-180 (1912; JFM 43.0463.01)]. Betrachtet man statt der Krümmung \(\kappa\) die Funktionen \(\kappa_{\min} (t)= \min \{\kappa (t-),\kappa (t+)\}\), \(\kappa_{ \max} (t)= \max \{\kappa(t-), \kappa(t+)\}\), wobei \(t\) einen Kurvenparameter und \(\kappa (t-)\), \(\kappa (t+)\) den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert von \(\kappa\) in \(t\) bezeichnen, und definiert man Scheitel als die Minima von \(\kappa_{\min}\) bzw. die Maxima von \(\kappa_{\max} \), so kann man den Vierscheitelsatz dahingehend formulieren, daß eine reguläre, geschlossene, doppelpunktfreie ebene Kurve mindestens zwei Min-Scheitel und zwei Max-Scheitel besitzt (wobei Min- und Max-Scheitel bei nichtstetig gekrümmten Kurven durchaus zusammenfallen können, wie einfachste Beispiele zeigen). Ist die Kurve zweimal (nicht notwendig stetig) differenzierbar, so folgt dieser ``(2+2)-Scheitelsatz'' recht einfach aus den Bemerkungen in \textit{H. Kneser} [Arch. Math. 5, 77-80 (1954; Zbl 0055.39501)]. Der Verfasser der vorliegenden Arbeit zeigt, daß es genügt zu fordern, daß die Tangente \(T\) bis auf abzählbar viele Ausnahmestellen die Frenetgleichung \(T'(s)= \kappa(s) N(s)\) erfüllt, wobei \(N\) die Kurvennormale bezeichnet und \(\kappa\) die ``Krümmung'', von der angenommen wird, daß es sich um eine Regelfunktion handelt. Die Beweisidee bleibt dabei, bis auf kleinere Modifikationen, die gleiche wie bei dem ursprünglichen Beweis von A. Kneser [loc. cit.].