A spectrum associated with Minkowski diagonal continued fraction (Q2857866)

Ist \(\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) und gilt \((\ast)\!\!: |Q\alpha-P|<1/(2Q)\) für ein teilerfremdes Paar \((P,Q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}\), so ist \(P/Q\) ein Näherungsbruch des Kettenbruchs von \(\alpha\). Weiter gilt für jedes \(k\in\mathbb{N}\), dass von je zwei sukzessiven Näherungsbrüchen \(p_k/q_k,p_{k+1}/q_{k+1}\) von \(\alpha\) mindestens einer der Ungleichung \((\ast)\) genügt. Es bezeichne \(Q_0<\ldots<Q_n<Q_{n+1}<\ldots\) die unendliche Folge aller Nenner \(Q\) in \((\ast)\). Mit den rationalen Funktionen \(G(x,y):=(x+y+1)/4,F(x,y):=(1-xy)^2/((4(1+xy)(1-x)(1-y))\) und den aus dem Kettenbruch \([a_0;a_1,\ldots,a_\nu,\ldots]\) von \(\alpha\) abgeleiteten Größen \(\alpha_\nu:=[a_\nu;a_{\nu+1},\ldots],\alpha_\nu^*:=[0;a_\nu,\ldots,a_1]\) definiert man \(\mathfrak{m}_n(\alpha)\) als \(G(\alpha_\nu^*,\alpha_{\nu+2}^{-1})\) bzw. \(F(\alpha_{\nu+1}^*,\alpha_{\nu+2}^{-1})\) je nachdem, ob \((Q_n,Q_{n+1})\) gleich \((q_{\nu-1},q_{\nu+1})\) bzw. \((q_\nu,q_{\nu+1})\) für ein \(\nu\) ist. Schließlich setzt man \(\mathfrak{m}(\alpha):=\limsup_{n\to\infty}\mathfrak{m}_n(\alpha)\), eine Größe, die von \textit{H. Minkowski} [Math. Ann. 54, 91--124 (1901; JFM 31.0213.02)] auf anderem Weg eingeführt wurde.NEWLINENEWLINE\textit{N. Moshchevitin} [in: Analytic and probabilistic methods in number theory. Proceedings of the 5th international conference in honour of J. Kubilius, Palanga, Lithuania, 2011. Vilnius: TEV, 197--206 (2012; Zbl 1337.11044)] ist es durch Betrachtung der \(\mathfrak{m}_n(\alpha)\) gelungen, Aussagen über das Spektrum \(\mathbb{M}:=\{m\in\mathbb{R}\!\!: \exists\,\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\: \mathrm{mit}\: m=\mathfrak{m}(\alpha)\}\) zu gewinnen. Die Verfasserin untersucht das analog definierte Spektrum \(\mathbb{I}:=\{m\in\mathbb{R}\!\!: \exists\,\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\: \mathrm{mit}\: m=\mathfrak{i}(\alpha)\}\), wobei \(\mathfrak{i}(\alpha):=\liminf\mathfrak{m}_n(\alpha)\}\) gesetzt ist. Es zeigt sich \(\mathbb{I}\subset[1/4,1/2]\) und als Hauptergebnis, dass es eine Konstante \(\omega_0\) gibt, mit der \([1/4,\omega_0]\subset\mathbb{I}\) gilt. Die Beweise verwenden Ideen von \textit{M. Hall jun.} [Ann. Math. (2) 48, 966--993 (1947; Zbl 0030.02201)] sowie Techniken, die Moshchevitin [\textit{N. G. Moshchevitin}, Russ. Math. Surv. 52, No. 6, 1312--1313 (1997); translation from Usp. Mat. Nauk 52, No. 6, 145--146 (1997; Zbl 1010.11037)] weiterentwickelt hat.