Systems of conservation laws in the setting of the projective theory of congruences: reducible and linearly degenerate systems. (Q1397841)

Es handelt sich um einen Übersichtsartikel, der hauptsächlich frühere Ergebnisse der Verfasser enthält [Izv. Math. 60, No. 6, 1097--1122 (1996); translation from Izv. Ross, Akad. Nauk, Ser. Mat. 60, No. 6, 3--30 (1996; Zbl 0889.35063) und Manuscr. Math. 106, No. 4, 461--488 (2001; Zbl 1149.35385)]. Es werden Systeme von ``Conservation laws'' studiert, d.h. Systeme von Differentialgleichungen der Form (1) \(u^i_t= f^i(u)_x= v^i_j(u) u^j_x\), \(v^i_j= {\partial f^i\over\partial u^j}\), \(i= 1,2,\dots, n\). Jedem solchen System wird eine \(n\)-parametrige Geradenmannigfaltigkeit (Kongruenz) (2) \(^i= u^i y^0- f^i(u)\), \(i= 1,2,\dots, n\) im projektiven Raum \(P^{n+1}\) zugeordnet, wobei \(y^0,\dots, y^n\) die affinen Koordinaten bezeichnen. Nach dem einleitenden Abschnitt, in dem die benötigten Begriffe definiert werden, wird eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür angegeben, dass die Torsen der Schar (2) kegelförmig sind (Theorem 1). Theorem 2 liefert eine Kennzeichnung der ``reducible'' Systeme (1). Die folgenden Resultate beziehen sich auf die sogenannten \(T\)-Systeme für \(n= 3\) (die Kongruenztorsen der zugehörigen Kongruenzen sind dann ebene Geradenbüschel). Theorem 3 besagt, dass die zugehörige Kongruenz eines \(T\)-Systems linear ist. Theorem 4 gibt eine Klassifikation der \(T\)-Systeme an. Der Artikel ist durch interessanten Beispielen bereichert.