Reducibility and irreducibility of Stern \((0,1)\)-polynomials (Q2925407)

Die Polynome im Titel sind rekursiv definiert durch \(a(0;x):=0, a(1;x)\) \(:=1\) sowie für \(n\geq1\) durch \(a(2n;x):=a(n;x^2), a(2n+1;x):=xa(n;x^2)+a(n+1;x^2)\). Sie haben daher nur Koeffizienten 0 oder 1 ('Newman-Polynome') und wurden von \textit{K. Dilcher} and \textit{K. B. Stolarsky} [Int. J. Number Theory 3, No. 1, 85--103 (2007; Zbl 1117.11017)] als Verallgemeinerung der von \textit{M. A. Stern} [J. reine angew. Math. 55, 193--220 (1858)] untersuchten Folge \((a(n;1))_{n=0,1,\ldots}\) eingeführt. Klar ist, dass \(a(n;1)\) die Anzahl der Koeffizienten \(\neq0\) von \(a(n;x)\) bedeutet.NEWLINENEWLINEZunächst beweisen Verff. Reduzibilitäts- und Irreduzibilitätsresultate (über \(\mathbb{Q}\)) für solche \(a(n;x)\) mit \(2\leq a(n;1)\leq4\). Sodann werden analoge Ergebnisse für die Polynome \(a(2^{k-1}+1;x)\) bzw. \(a(2^k-1;x)\) gezeigt (die \(k\) Koeffizienten \(\neq0\) besitzen). Einige neue Identitäten über Stern-Polynome bereiten das Weitere vor, wo Aussagen über Teilbarkeit solcher Polynomen durch \(x^2\pm x+1\) und durch allgemeinere Kreisteilungspolynome gewonnen werden. Schließlich beweisen Verff., dass kein \(a(n;x)\) durch das Quadrat eines nichtkonstanten Polynoms teilbar sein kann. Vier interessante Vermutungen runden den Aufsatz ab.NEWLINENEWLINE\textit{Anmerkung.} S. Klavžar, U. Milotinović und C. Petr [\textit{S. Klavžar} et al., Adv. Appl. Math. 39, No. 1, 86--95 (2007; Zbl 1171.11016)] haben eine andersartige polynomiale Verallgemeinerung der Sternschen Folge studiert.