Fields arithmetically equivalent to a radical extension of the rationals (Q921049)

Zwei algebraische Zahlkörper \(K_ 1,K_ 2\) heißen arithmetisch äquivalent, \(K_ 1\sim K_ 2\), wenn ihre Zetafunktionen übereinstimmen; für eine Reihe damit gleichwertiger Bedingungen siehe [\textit{R. Perlis}, J. Number Theory 9, 342-360 (1977; Zbl 0389.12006)]. In der vorliegenden Arbeit bestimmen die Autoren alle zu einem Körper \({\mathbb{Q}}(^ n\sqrt{a})\) (n\(\in {\mathbb{N}},a\in {\mathbb{Z}}\), \(X^ n-a\) irreduzibel über \({\mathbb{Q}})\) arithmetisch äquivalenten Körper K. Ihre Resultate sind wie folgt: 1) Ist \(n=2^ em\) mit \(e\geq 0\) und \(2\nmid m\), so folgt \(K=LM\) mit \(L\sim {\mathbb{Q}}(^{2^ e}\sqrt{a})\) und \(M\cong {\mathbb{Q}}(^ n\sqrt{a});\) 2) Ist \(n=2^ e\) mit \(e\geq 1\) und \({\mathbb{Q}}(^{2^ e}\sqrt{a})\cap {\mathbb{Q}}(\zeta_{2^ e})={\mathbb{Q}}(^{2^ e}\sqrt{a}),\) so folgt entweder \(K\cong {\mathbb{Q}}(^{2^ e}\sqrt{a})\) oder \(e\geq 3\), \(s=0\), \(K\cong {\mathbb{Q}}(^{2^ e}\sqrt{a}\cdot \sqrt{2})\) oder \(e\geq 4\), \(s=1\), \({\mathbb{Q}}(\sqrt{a})={\mathbb{Q}}(\sqrt{2})\) und \(K\cong {\mathbb{Q}}(^{2^ e}\sqrt{a}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2}})\).